Resposta de Freqüência do Filtro de Média Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é a DTFT da resposta de impulso, A resposta de impulso de uma média móvel de L é de média móvel. Uma vez que o filtro de média móvel é FIR, a resposta de freqüência reduz-se à soma finita We Pode usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde temos deixar ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados na magnitude desta função para determinar quais freqüências passam pelo filtro sem atenuação e quais são atenuadas. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianos por amostra. Observe que, em todos os três casos, a resposta de freqüência tem uma característica de passagem baixa. Uma componente constante (frequência zero) na entrada passa através do filtro sem ser atenuada. Certas frequências mais elevadas, como pi / 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro lowpass, então não temos feito muito bem. Algumas das frequências mais altas são atenuadas apenas por um factor de cerca de 1/10 (para a média móvel de 16 pontos) ou 1/3 (para a média móvel de quatro pontos). Podemos fazer muito melhor do que isso. O gráfico acima foi criado pelo seguinte código de Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-iomega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 ) (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) lote (omega , Abs (H4) abs (H8) abs (H16)) (0, pi, 0, 1) Copyright 2000 - Universidade da Califórnia, BerkeleySignal Processing / Digital Filters Os filtros digitais são por essência amostrados sistemas. Os sinais de entrada e saída são representados por amostras com igual distância de tempo. Os filtros de Resposta de Implusão Finita (FIR) são caracterizados por uma resposta de tempo que depende apenas de um dado número das últimas amostras do sinal de entrada. Em outros termos: uma vez que o sinal de entrada caiu para zero, a saída do filtro fará o mesmo depois de um determinado número de períodos de amostragem. A saída y (k) é dada por uma combinação linear das últimas amostras de entrada x (k i). Os coeficientes b (i) dão o peso para a combinação. Eles também correspondem aos coeficientes do numerador da função de transferência do filtro do domínio z. A figura a seguir mostra um filtro FIR de ordem N 1: Para filtros de fase linear, os valores dos coeficientes são simétricos em torno do meio e a linha de retardo pode ser dobrada em torno deste ponto médio para reduzir o número de multiplicações. A função de transferência de filtros FIR só exibe um numerador. Isso corresponde a um filtro zero total. Os filtros FIR normalmente exigem pedidos altos, na magnitude de várias centenas. Assim, a escolha deste tipo de filtros vai precisar de uma grande quantidade de hardware ou CPU. Apesar disso, uma das razões para escolher uma implementação de filtro FIR é a capacidade de obter uma resposta em fase linear, o que pode ser uma exigência em alguns casos. No entanto, o fiter designer tem a possibilidade de escolher filtros IIR com uma boa linearidade de fase na passband, como os filtros Bessel. Ou para projetar um filtro allpass para corrigir a resposta de fase de um filtro padrão IIR. Filtros de média móvel (MA) Os modelos de modificação de média móvel (MA) são modelos de processo na forma: MA processos é uma representação alternativa de filtros FIR. Filtros médios Editar Um filtro que calcula a média das N últimas amostras de um sinal É a forma mais simples de um filtro FIR, com todos os coeficientes sendo iguais. A função de transferência de um filtro médio é dada por: A função de transferência de um filtro médio possui N zeros igualmente espaçados ao longo do eixo de freqüência. No entanto, o zero na DC é mascarado pelo pólo do filtro. Assim, há um lobo maior um DC que responde pela faixa de passagem do filtro. Filtros integrados-Comb (CIC) em cascata Editar Um filtro integrador-pente em cascata (CIC) é uma técnica especial para a implementação de filtros médios colocados em série. A colocação em série dos filtros médios aumenta o primeiro lobo em DC em comparação com todos os outros lóbulos. Um filtro CIC implementa a função de transferência de N filtros de média, cada um calculando a média de R M amostras. A sua função de transferência é assim dada por: Os filtros CIC são utilizados para dizimar o número de amostras de um sinal por um factor de R ou, em outros termos, para reamostrar um sinal a uma frequência mais baixa, eliminando amostras de R 1 de R. O factor M indica quanto do primeiro lóbulo é utilizado pelo sinal. O número de fases médias do filtro, N. Indica quão bem outras bandas de frequência são amortecidas, à custa de uma função de transferência menos plana em torno de DC. A estrutura do CIC permite implementar todo o sistema com apenas adicionadores e registradores, sem utilizar multiplicadores que sejam gananciosos em termos de hardware. Downsampling por um fator de R permite aumentar a resolução do sinal por log 2 (R) (R) bits. Filtros canónicos Os filtros canónicos implementam uma função de transferência de filtros com um número de elementos de atraso igual à ordem do filtro, um multiplicador por coeficiente de numerador, um coeficiente multiplicador por denominador e uma série de aditivos. Semelhantemente aos filtros ativos estruturas canônicas, este tipo de circuitos mostrou-se muito sensível aos valores dos elementos: uma pequena alteração nos coeficientes teve um grande efeito sobre a função de transferência. Aqui também, a concepção de filtros activos deslocou-se de filtros canónicos para outras estruturas, tais como cadeias de secções de segunda ordem ou filtros de saltos. Cadeia de Secções de Segunda Ordem Editar Uma seção de segunda ordem. Frequentemente referida como biquad. Implementa uma função de transferência de segunda ordem. A função de transferência de um filtro pode ser dividida em um produto de funções de transferência cada associado a um par de pólos e possivelmente um par de zeros. Se a ordem das funções de transferência for ímpar, então uma seção de primeira ordem deve ser adicionada à cadeia. Esta seção está associada ao pólo real e ao real zero se houver um. Direct-form 1 direct-form 2 direct-form 1 transposed direct-form 2 transposed A directa-forma 2 transposta da figura seguinte é especialmente interessante em termos de hardware necessário, bem como sinal e coeficiente de quantização. Digital Leapfrog Filters Editar Filtro Estrutura Editar Digital leapfrog filtros baseiam-se na simulação de filtros ativos analógicos do leapfrog. O incentivo para esta escolha é herdar das propriedades de sensibilidade passband excelente do circuito ladder original. O seguinte filtro de salto baixo todo-pólo de 4ª ordem pode ser implementado como um circuito digital substituindo os integradores analógicos por acumuladores. A substituição dos integradores analógicos por acumuladores corresponde à simplificação da transformação Z para z 1 s T. Que são os dois primeiros termos da série de Taylor de z e x p (s T). Esta aproximação é boa o suficiente para filtros onde a freqüência de amostragem é muito maior do que a largura de banda do sinal. Função de Transferência Edit A representação de espaço de estado do filtro anterior pode ser escrita como: A partir deste conjunto de equações, pode-se escrever as matrizes A, B, C, D como: A partir desta representação, ferramentas de processamento de sinal como Octave ou Matlab permitem traçar A resposta de freqüência dos filtros ou para examinar seus zeros e pólos. No filtro de salto digital, os valores relativos dos coeficientes definem a forma da função de transferência (Butterworth, Chebyshev.), Enquanto que suas amplitudes estabelecem a freqüência de corte. Dividindo todos os coeficientes por um fator de dois desloca a freqüência de corte para baixo por uma oitava (também um fator de dois). Um caso especial é o Buterworth 3 ª ordem filtro que tem constantes de tempo com valores relativos de 1, 1/2 e 1. Devido a isso, este filtro pode ser implementado em hardware sem qualquer multiplicador, mas usando mudanças em seu lugar. Os modelos de auto-regressão (AR) são modelos de processo na forma: Onde u (n) é a saída do modelo, x (n) é a entrada do modelo e u (n - m) são anteriores Amostras do valor de saída do modelo. Estes filtros são chamados autoregressivos porque os valores de saída são calculados com base em regressões dos valores de saída anteriores. Os processos AR podem ser representados por um filtro de todos os pólos. Filtros ARMA Editar Os filtros de média móvel (ARMA) auto-regressivos são combinações de filtros AR e MA. A saída do filtro é dada como uma combinação linear tanto da entrada ponderada quanto das amostras de saída ponderadas: os processos ARMA podem ser considerados como um filtro IIR digital, com pólos e zeros. Os filtros AR são preferidos em muitos casos porque podem ser analisados usando as equações de Yule-Walker. Os processos MA e ARMA, por outro lado, podem ser analisados por equações não lineares complicadas que são difíceis de estudar e modelar. Se temos um processo AR com coeficientes de ponta-ponta a (um vetor de a (n), a (n - 1).) Uma entrada de x (n). E uma saída de y (n). Podemos usar as equações de yule-walker. Dizemos que x 2 é a variância do sinal de entrada. Tratamos o sinal de dados de entrada como um sinal aleatório, mesmo que seja um sinal determinístico, porque não sabemos qual será o valor até recebê-lo. Podemos expressar as equações de Yule-Walker como: Onde R é a matriz de correlação cruzada da saída do processo E r é a matriz de autocorrelação da saída do processo: Variance Edit Podemos mostrar que: Podemos expressar a variância do sinal de entrada como: Or , Expandindo e substituindo por r (0). Podemos relacionar a variância de saída do processo com a variância de entrada: Introdução à Filtragem 9.3.1 Introdução à Filtragem No campo do processamento de sinal, o design de filtros de sinal digital envolve o processo de suprimir certas frequências e impulsionar outras. Um modelo de filtro simplificado é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A implementação de (9-23) é direta e requer somente valores iniciais, então é obtida por simples iteração. Uma vez que os sinais devem ter um ponto de partida, é comum exigir que e para. Enfatizamos este conceito fazendo a seguinte definição. Definição 9.3 (Sequência Causal) Dadas as sequências de entrada e saída. Se e para, a seqüência é dito ser causal. Dada a sequência causal, é fácil calcular a solução para (9-23). Use o fato de que essas seqüências são causais: A etapa iterativa geral é 9.3.2 Os Filtros Básicos Os três filtros básicos simplificados a seguir servem como ilustrações. (I) Zeroing Out Filter, (note que). (Ii) Boosting Up Filter, (note que). (Iii) Filtro de Combinação. A função de transferência para estes filtros de modelo tem a seguinte forma geral onde as transformações z das sequências de entrada e saída são e, respectivamente. Na seção anterior, mencionamos que a solução geral para uma equação de diferença homogênea é estável somente se os zeros da equação característica estiverem dentro do círculo unitário. Da mesma forma, se um filtro é estável, então os pólos da função de transferência devem estar todos dentro do círculo da unidade. Antes de desenvolver a teoria geral, gostaríamos de investigar a resposta de amplitude quando o sinal de entrada é uma combinação linear de e. A resposta de amplitude para a freqüência usa o sinal de unidade complexa, e é definida como sendo A fórmula para será rigorosamente explicada após alguns exemplos introdutórios. Exemplo 9.21. Dado o filtro. 9,21 (a). Mostre que é um filtro de zeramento para os sinais ee calcule a resposta da amplitude. 9.21 (b). Calcular as respostas de amplitude e investigar o sinal filtrado para. 9.21 (c). Calcular as respostas de amplitude e investigar o sinal filtrado para. Figura 9.4. A resposta de amplitude para. Figura 9.5. A entrada ea saída. Figura 9.6. A entrada ea saída. Explore a Solução 9.21. Exemplo 9.22. Dado o filtro. 9.22 (a). Mostre que é um filtro de aumento para os sinais ee calcule a resposta da amplitude. 9.22 (b). Calcular as respostas de amplitude e investigar o sinal filtrado para. Figura 9.7. A resposta de amplitude para. Figura 9.8. A entrada ea saída. Explore a Solução 9.22. 9.3.3 A Equação de Filtro Geral A forma geral de uma equação de diferença de filtros de ordem é onde e são constantes. Observe cuidadosamente que os termos envolvidos são da forma e onde e, o que torna esses termos tempo atrasado. A forma compacta de escrever a equação de diferença é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A porção irá zerar os sinais e aumentará os sinais. Observação 9.14. A fórmula (9-31) é chamada equação de recursão e os coeficientes de recursão são e. Ele mostra explicitamente que a saída atual é uma função dos valores passados, para, a entrada atual, e as entradas anteriores para. As sequências podem ser consideradas sinais e são zero para índices negativos. Com esta informação podemos agora definir a fórmula geral para a função de transferência. Usando a propriedade de mudança de tempo retardada para seqüências causais e tomando a transformada z de cada termo em (9-31). Obtemos Nós podemos fatorar fora das somas e escrever isto em uma forma equivalente Da equação (9-33) obtemos o que leva à seguinte definição importante. Definição 9.4 (Função de Transferência) A função de transferência correspondente à equação de diferença de ordens (8) é dada pela Fórmula (9-34) é a função de transferência para um filtro de resposta ao impulso infinito (filtro IIR). No caso especial quando o denominador é unidade torna-se a função de transferência para um filtro de resposta de impulso finito (filtro FIR). Definição 9.5 (Resposta de amostra única) A sequência correspondente à função de transferência é denominada resposta de amostra unitária. Teorema 9.6 (Resposta de Saída) A resposta de saída de um filtro (10) dado um sinal de entrada é dada pela transformação z inversa e em forma de convolução é dado por Outro uso importante da função de transferência é estudar como um filtro afeta Várias frequências. Na prática, um sinal de tempo contínuo é amostrado a uma frequência que é pelo menos o dobro da frequência de sinal de entrada mais elevada para evitar a dobra de frequência ou aliasing. Isso ocorre porque a transformada de Fourier de um sinal amostrado é periódica com o período, embora não vamos provar isso aqui. Aliasing impede a recuperação precisa do sinal original de suas amostras. Agora pode-se mostrar que o argumento da transformada de Fourier se mapeia no círculo da unidade do plano z através da fórmula (9-37), onde é chamada de frequência normalizada. Portanto, a transformada z avaliada no círculo unitário também é periódica, exceto com o período. Definição 9.6 (Resposta de amplitude) A resposta de amplitude é definida como sendo a magnitude da função de transferência avaliada no sinal de unidade complexa. A fórmula é (9-38) ao longo do intervalo. O teorema fundamental da álgebra implica que o numerador tem raízes (chamados zeros) eo denominador tem raízes (chamados pólos). Os zeros podem ser escolhidos em pares conjugados no círculo unitário e para. Para a estabilidade, todos os pólos devem dentro do círculo da unidade e para. Além disso, os pólos são escolhidos para serem números reais e / ou em pares conjugados. Isso garante que os coeficientes de recursão são todos números reais. IIR filtros podem ser todos pólo ou pólo zero e estabilidade é uma preocupação FIR filtros e todos os zero-filtros são sempre estáveis. 9.3.4 Desenho de filtros Na prática, a fórmula de recursão (10) é usada para calcular o sinal de saída. No entanto, o design do filtro digital é baseado na teoria acima. Começa-se por selecionar a localização de zeros e pólos correspondente aos requisitos de projeto do filtro e construir a função de transferência. Como os coeficientes em são reais, todos os zeros e pólos com um componente imaginário devem ocorrer em pares conjugados. Em seguida, os coeficientes de recursão são identificados em (13) e usados em (10) para escrever o filtro recursivo. Tanto o numerador quanto o denominador de podem ser fatorados em fatores quadráticos com coeficientes reais e possivelmente um ou dois fatores lineares com coeficientes reais. Os seguintes princípios são usados para construir. (I) Zeroing Out Factors Para filtrar os sinais e, use os fatores da forma no numerador de. Eles vão contribuir para o termo (ii) impulsionar o Fatores para amplificar os sinais e, use fatores do form104210881077108410771085108510861077 1076108010891082108810771090108510861077 10871088107710861073108810721079108610741072108510801077 10601091108811001077 1092108010831100109010881072 10891082108610831100107911031097107710751086 10891088107710761085107710751086 1040108410871083108010901091107610851086-109510721089109010861090108510721103 10931072108810721082109010771088108010891090108010821072 1076107410911084107710881085108610751086 1092108010831100109010881072 10891082108610831100107911031097107710751086 10891088107710761085107710751086.File: Filtro FIR (média móvel).svg A seguir Outros wikis usam este ficheiro: Metadados Este ficheiro contém informação adicional, tal como metadados Exif que pode ter sido adicionada pela câmara digital, scanner ou programa de software usado para criar ou digitalizá-lo. Se o arquivo tiver sido modificado do seu estado original, alguns detalhes, como o carimbo de data / hora, podem não refletir completamente os do arquivo original. O timestamp é somente tão exato quanto o pulso de disparo na câmera, e pode ser completamente errado. Filtro médio móvel
No comments:
Post a Comment